Formeln auswendig lernen, ohne sie zu pauken

Um Formeln auswendig zu lernen, verstehst du zuerst, was jede einzelne aussagt und woher sie kommt. Dann klappst du das Buch zu und schreibst sie aus dem Gedächtnis auf, und diesen Test wiederholst du über mehrere Tage in wachsenden Abständen. Zum Schluss wendest du die Formel an echten Aufgaben an, bis die Wahl der richtigen Formel automatisch läuft. Eine Liste immer wieder zu lesen ist der schwächste dieser Schritte. Es fühlt sich produktiv an, und am Ende kennst du eine Formel vom Sehen, kannst sie aber nicht hinschreiben.

Formeln sind eine seltsame Art von Lernstoff. Sie sind kurz und wirken deshalb leicht. Zugleich sind sie dicht: Eine einzige Zeile wie die Mitternachtsformel enthält eine Struktur, eine Reihe von Symbolen und eine Regel, wann man sie benutzt. Wer sie wie Zeichenketten behandelt, vergisst sie meist binnen weniger Tage oder erinnert sich mit einem falschen Vorzeichen. In einer Prüfung ist das dasselbe, als hätte man sie gar nicht gewusst.

Dieser Leitfaden zeigt dir eine Methode, die in Mathe, Physik, Chemie, Wirtschaft und jedem anderen Fach mit Gleichungen funktioniert. Sie kostet am Anfang etwas mehr Mühe und am Ende deutlich weniger Panik.

Warum es nichts bringt, eine Formelsammlung immer wieder zu lesen

Die meisten Schüler lernen Formeln auswendig, indem sie sie abschreiben und das Blatt wieder und wieder durchlesen. Das erscheint vernünftig, weil die Formeln mit jedem Durchgang vertrauter aussehen. Das Problem: Vertrautheit ist kein Abruf. Wenn du „A = πr²“ zum zehnten Mal liest, erkennt dein Gehirn es und geht weiter. Es muss die Formel nie selbst hervorbringen, und genau das verlangt die Prüfung von dir.

Die Lernforschung ist hier eindeutig. In einer vielzitierten Studie von 2008 stellten Karpicke und Roediger fest, dass Studierende, die sich immer wieder selbst abfragten, eine Woche später deutlich mehr wussten als Studierende, die den Stoff immer wieder lasen, obwohl die Lesenden sich sicherer fühlten. Auch ein breiter Überblick über Lerntechniken von Dunlosky und Kollegen aus dem Jahr 2013 bewertete Testen und verteiltes Üben als die nützlichsten Methoden und erneutes Lesen als schwach.

Der Plan unten beruht deshalb auf einer einzigen Idee: Dein Gehirn soll die Formel hervorbringen, nicht nur wiedererkennen. Alles andere unterstützt das.

Schritt 1: Verstehe die Formel, bevor du sie auswendig lernst

Eine Formel, die du verstehst, merkst du dir viel leichter als eine, die du nicht verstehst. Bevor du irgendetwas lernst, nimm dir für jede Formel zwei bis drei Minuten und beantworte drei Fragen.

• Wofür steht jedes Symbol? Schreibe Namen und Einheit jedes Buchstabens auf. In der Physik ist „v = s / t“ nur nützlich, wenn du weißt, dass v die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde und s die Strecke in Metern ist.
• Was sagt die Formel in Worten? Sage sie in einem einfachen Satz. „Die Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke geteilt durch die dafür benötigte Zeit.“ Kannst du sie nicht in Worten sagen, hast du sie noch nicht verstanden.
• Wann benutze ich sie, und wann nicht? Viele Fehler entstehen, weil man eine richtige Formel in der falschen Situation einsetzt. Notiere die Bedingungen, etwa „nur bei konstanter Beschleunigung“ oder „nur im rechtwinkligen Dreieck“.

Wenn du kannst, geh einen Schritt weiter und sieh dir an, woher die Formel kommt. Viele Formeln sind nur eine kurze Herleitung von etwas entfernt, das du schon kennst. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte eines Rechtecks, und die Mitternachtsformel entsteht durch quadratische Ergänzung. Du musst nicht jeden Beweis auswendig können, aber eine einzige Herleitung gibt der Formel eine Bedeutung, die keine Eselsbrücke liefern kann. Vergisst du in der Prüfung einen Term, kannst du ihn mit Verständnis oft rekonstruieren.

Prüfe auch, ob du siehst, wie sich die Formel verhält. Was passiert mit der Fläche, wenn du den Radius verdoppelst? Was passiert mit der Geschwindigkeit, wenn du die Zeit erhöhst? Dieses Gefühl dafür, wie die Symbole gegeneinander wirken, fängt viele falsch erinnerte Formeln ab, bevor sie auf dem Papier landen.

Schritt 2: Lerne sie in kleinen Gruppen, nicht als eine Liste

Eine Seite mit vierzig Formeln ist erdrückend, und der Versuch, alles auf einmal zu lernen, ist der Grund, warum viele aufgeben. Teile sie stattdessen auf.

Gruppiere die Formeln nach Themen: alle Gleichungen der Kinematik zusammen, alle Kreisformeln zusammen. Dann arbeitest du an zwei oder drei gleichzeitig. Lerne diese, bis du sie ohne Hilfe aufschreiben kannst, und erst dann nimmst du die nächsten dazu. Verwandte Formeln folgen oft einem gemeinsamen Muster, etwa Fläche und Umfang eines Kreises oder die verschiedenen Formen des ohmschen Gesetzes, und diese Verbindungen solltest du dir bewusst machen. Ein Muster ist eine Sache, die du dir merkst, statt drei.

Halte außerdem die Form jeder Formel einheitlich. Lernst du „F = m · a“ und deine Lehrkraft schreibt „a = F / m“, behandle die beiden nicht als getrennte Einträge. Übe das Umstellen und schreibe die Varianten auf, die du wirklich brauchst. Zu wissen, dass es dieselbe Formel in anderer Verkleidung ist, halbiert deine Liste.

Schritt 3: Teste dich aus dem Gedächtnis

Dieser Schritt erledigt das eigentliche Auswendiglernen. Verdecke die Formel und schreibe sie aus dem Gedächtnis auf, auf Papier oder laut gesprochen. Dann prüfst du sie und korrigierst Fehler. Mehr ist es nicht.

Gut gelingt das mit einer einfachen Karte oder einem leeren Blatt.

• Schreibe den Namen der Formel oder einen kurzen Impuls auf eine Seite. Zum Beispiel: „Fläche eines Kreises“ oder „Kinetische Energie“.
• Schreibe auf die andere Seite die Formel mit ihrer Bedeutung und einem Hinweis, wann man sie benutzt.
• Sieh dir den Impuls an, schreibe die Formel aus dem Gedächtnis, dann drehe um und vergleiche.
• Lege die richtigen auf einen Stapel „kann ich“ und behalte die falschen im Stapel „lerne ich noch“.

Formuliere den Impuls als Frage, die dir wirklich begegnet, und nicht nur als Namen der Formel. „Wie viel Energie hat ein bewegter Körper?“ ist näher an dem, was eine Prüfung fragt, als „Formel Ekin“. So trainierst du dein Gehirn darin, eine Situation mit einer Formel zu verbinden, und das ist die eigentliche Fähigkeit. In unserem Leitfaden zu Karteikarten, die wirklich funktionieren erfährst du, wie du gute Impulse baust, und dieselben Ideen gelten für Formeln.

Schau nicht zu früh nach. Die Anstrengung, sich zu erinnern, stärkt das Gedächtnis auch dann, wenn es nicht klappt. Eine Formel, um die du gerungen und die du dann nachgeprüft hast, bleibt besser hängen als eine, die du sofort nachgelesen hast.

Schritt 4: Verteile die Wiederholungen

Eine Formel, die du einmal testest, verblasst. Eine Formel, die du mehrmals in wachsenden Abständen testest, bleibt. Das ist der Spacing-Effekt, und er ist die günstigste Verbesserung, die du an deinem Lernen vornehmen kannst. Mehr dazu liest du in unserem Leitfaden zu Spaced Repetition und der Vergessenskurve.

Ein einfacher Plan für eine neue Formel:

• Teste sie am selben Tag noch einmal, nach ein bis zwei Stunden Pause.
• Teste sie am nächsten Tag.
• Teste sie drei oder vier Tage später.
• Teste sie eine Woche später und danach alle paar Wochen bis zur Prüfung.

Wenn du eine Formel irgendwann falsch hast, setze sie an den Anfang des Plans zurück. Die, die du immer richtig hast, brauchen weniger Wiederholungen, sodass deine Zeit zu denen fließt, die wegrutschen. Du musst das nicht von Hand verfolgen, wenn du nicht willst. Ein Stapelsystem mit drei Kästen erfüllt den Zweck, und eine App kann die Planung für dich übernehmen.

Schritt 5: Wende die Formeln an echten Aufgaben an

Die Formel isoliert im Kopf zu haben reicht nicht. In der Prüfung fragt dich niemand „Wie lautet die Formel für die kinetische Energie?“. Du bekommst eine Aufgabe und sollst die passende Formel wählen und anwenden. Der letzte Schritt ist daher, genau das zu üben.

• Rechne Aufgaben, nicht nur die Liste. Löse nach einer gelernten Gruppe von Formeln eine Handvoll Aufgaben, die sie nutzen, und notiere, welche Formel du gewählt hast und warum.
• Mische die Themen. Sobald die Formeln sitzen, mische Aufgaben aus verschiedenen Kapiteln. So musst du erkennen, welche Formel passt, statt einfach die zu nehmen, die du zuletzt gelernt hast.
• Führe ein Fehlerheft. Wenn du eine Aufgabe falsch hast, notiere, ob es die falsche Formel, ein falsches Umstellen oder ein Rechenfehler war. Jede Art braucht eine andere Abhilfe, und nach ein paar Einträgen zeigt sich ein Muster.
• Sage die Formel, bevor du sie benutzt. Sie oben in die Lösung zu schreiben, mit den Werten, die du einsetzt, ist eine Gewohnheit, die Fehler verringert und Punkte für den Lösungsweg bringt.

Wenn du eine Formel oft an echten Aufgaben anwendest, merkst du sie dir nebenbei auch. Die Formeln, die du am häufigsten benutzt, musst du nie wiederholen.

So geht es mit Orbily

Formeln aus einem langen Kapitel zu sammeln und in Übungsmaterial zu verwandeln ist der mühsame Teil dieser Methode. In Orbily durchsucht das Tool Formeln einen importierten Kurs und sammelt dessen Formeln in einer übersichtlichen Liste, jede mit einer einzeiligen Erklärung, was sie bedeutet und wann man sie benutzt. Startest du es aus einem Kapitel, nimmt es dieses Kapitel als Quelle, ohne dass du etwas neu eingeben musst. Danach kannst du dich selbst testen, mit Karten oder per Blank-Page-Abruf. Das Tool übernimmt weder das Erinnern noch das Üben für dich. Du musst die Formeln weiterhin selbst abrufen und Aufgaben selbst rechnen. Mehr zum Tool Formeln liest du auf der Funktionsseite.

Ein Beispiel aus der Praxis: drei Formeln in zehn Minuten

Angenommen, du musst die drei Bewegungsgleichungen für konstante Beschleunigung lernen. So läuft die Methode ab.

Erstens verstehen. Du schreibst auf, dass v₀ die Anfangsgeschwindigkeit ist, v die Endgeschwindigkeit, a die Beschleunigung, t die Zeit und s die Strecke. Die erste Gleichung sagst du in Worten: „Die Endgeschwindigkeit ist die Anfangsgeschwindigkeit plus Beschleunigung mal Zeit.“ Dir fällt auf, dass alle drei Gleichungen nur für konstante Beschleunigung gelten, und das schreibst du daneben.

Zweitens testen. Du deckst das Blatt ab und versuchst, „v = v₀ + a · t“ aus dem Impuls „Endgeschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung“ zu schreiben. Das klappt. „s = v₀ · t + ½ · a · t²“ versuchst du aus „zurückgelegte Strecke“ und vergisst das Halbe. Du prüfst, korrigierst und legst die Karte zurück in den Stapel „lerne ich noch“.

Drittens verteilen. Du testest die drei Gleichungen nach dem Abendessen noch einmal, am nächsten Morgen und dann drei Tage später. Das Halbe bleibt die Schwachstelle, also klärst du kurz, warum es da ist: Die Durchschnittsgeschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung liegt genau in der Mitte zwischen v₀ und v.

Viertens üben. Du rechnest vier Aufgaben, jede mit einer anderen Gleichung, und sagst laut, welche du gewählt hast und warum. Am Ende hast du jede Formel mindestens einmal im Zusammenhang angewendet.

Gesamtzeit: etwa zehn Minuten am ersten Tag, danach zwei bis drei Minuten pro weitere Wiederholung. Das ist weniger als eine Stunde Durchlesen, und es hält.

Häufige Fehler beim Auswendiglernen von Formeln

• Symbole ohne Bedeutung lernen. Wenn du nicht sagen kannst, was jeder Buchstabe ist, bröckelt die Formel unter Druck.
• Das Blatt lesen, statt dich zu testen. Das Gefühl von Vertrautheit ist kein Gedächtnis.
• Alles in einer Nacht lernen. Verteile die Arbeit auf mehrere Tage, auch wenn jede Sitzung kurz ist.
• Die Bedingungen ignorieren. Eine Formel außerhalb ihres Gültigkeitsbereichs liefert ein selbstsicheres falsches Ergebnis.
• Nie an Aufgaben üben. Eine Formel zu kennen und zu wissen, wann man sie braucht, sind zwei verschiedene Fähigkeiten.
• Sich nur auf Tricks stützen. Eine Eselsbrücke kann bei Reihenfolge oder Vorzeichen helfen, sollte aber auf dem Verständnis aufbauen und es nicht ersetzen.

Was du am Abend vor der Prüfung tun solltest

Lerne am Abend vor der Prüfung keine neuen Formeln. Nimm stattdessen deinen Formelzettel und teste dich damit: jede abdecken, aufschreiben, prüfen. Widme deine Zeit den Formeln, die du noch falsch hast, und höre dann auf und schlafe. Erlaubt deine Prüfung eine Formelsammlung, nutze den Abend, um zu prüfen, ob du weißt, welche Formel zu welcher Aufgabenart gehört, denn dort werden die meisten Punkte geholt. Unser Plan, in einer Woche für die Prüfung zu lernen, zeigt dir, wie du die letzten Tage nutzt.

Fazit

Formeln auswendig zu lernen ist keine Frage eines besseren Tricks. Es geht um drei Gewohnheiten: Verstehe jede Formel, damit sie etwas bedeutet, zwinge dein Gehirn, sie aus dem Gedächtnis hervorzubringen, und komm in wachsenden Abständen darauf zurück, während du sie an echten Aufgaben anwendest. Eine so gelernte Formel braucht wenige Minuten zum Einrichten und kaum etwas zum Behalten. Fang mit den drei oder vier an, die du ständig vergisst, lass sie heute durch die Schritte laufen und teste sie morgen noch einmal.