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Intelligenter Import

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9:41

Ableitung

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Differenzierbarkeit in einem Punkt

Was es heißt, eine Tangente zu haben

Eine Funktion kann stetig sein, ohne differenzierbar zu sein: Stetigkeit verbietet Sprünge, Differenzierbarkeit verbietet Knicke. Das ist der Unterschied zwischen zeichnen ohne abzusetzen und zeichnen ohne Ecke.

Der Differenzenquotient

📖 Definition

f ist an der Stelle a differenzierbar, wenn der Differenzenquotient zwischen a und a + h für h gegen 0 einen endlichen Grenzwert hat. Dieser Grenzwert ist die Ableitung f′(a).

f′(a) = lim_h→0 f(a + h) − f(a)h

Die Steigung der Sekante nähert sich der der Tangente.

✏️ Beispiel

x ↦ |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar: Der Quotient ist links −1 und rechts +1. Die Grenzwerte unterscheiden sich, also gibt es keine Tangente.

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Kapitel

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Orby-Chat

Ein Tutor, der zeigt statt nur zu erklären

9:41

Erklär mir den Satz von Rolle

Orby

Wenn f auf [a, b] stetig, auf ]a, b[ differenzierbar ist und f(a) = f(b) gilt, dann gibt es ein c in ]a, b[ mit f′(c) = 0: Dort ist die Tangente waagerecht.

Beispiel: f(x) = x² − 4x erfüllt f(1) = f(3) = −3, und f′(x) = 2x − 4 wird genau bei c = 2 null.

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Was garantiert der Satz von Rolle?

✓Eine Stelle, an der die Ableitung null ist

✕Dass f auf [a, b] konstant ist

Richtig: Rolle liefert die Existenz von c, nicht seinen Wert.