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Derivación

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Derivabilidad en un punto

Qué significa tener una tangente

Una función puede ser continua sin ser derivable: la continuidad prohíbe los saltos, la derivabilidad prohíbe las esquinas. Es la diferencia entre trazar sin levantar el lápiz y trazar sin quiebros.

La tasa de variación

📖 Definición

f es derivable en a si la tasa de variación entre a y a + h tiene un límite finito cuando h tiende a 0. Ese límite es la derivada f′(a).

f′(a) = lim_h→0 f(a + h) − f(a)h

La pendiente de la secante tiende a la de la tangente.

✏️ Ejemplo

x ↦ |x| no es derivable en 0: la tasa vale −1 por la izquierda y +1 por la derecha. Los dos límites difieren, así que no hay tangente.

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Explícame el teorema de Rolle

Orby

Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe un c en (a, b) tal que f′(c) = 0: ahí la tangente es horizontal.

Ejemplo: f(x) = x² − 4x cumple f(1) = f(3) = −3, y f′(x) = 2x − 4 se anula justo en c = 2.

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¿Qué garantiza el teorema de Rolle?

✓Un punto donde la derivada se anula

✕Que f es constante en [a, b]

Exacto: Rolle te da la existencia de c, no su valor.

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