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Importazione intelligente

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Derivazione

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Derivabilità in un punto

Cosa significa avere una tangente

Una funzione può essere continua senza essere derivabile: la continuità vieta i salti, la derivabilità vieta gli spigoli. È la differenza tra tracciare senza staccare la matita e tracciare senza scatti.

Il rapporto incrementale

📖 Definizione

f è derivabile in a se il rapporto incrementale tra a e a + h ammette un limite finito quando h tende a 0. Quel limite è la derivata f′(a).

f′(a) = lim_h→0 f(a + h) − f(a)h

La pendenza della secante tende a quella della tangente.

✏️ Esempio

x ↦ |x| non è derivabile in 0: il rapporto vale −1 a sinistra e +1 a destra. I due limiti differiscono, quindi non c’è tangente.

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Capitolo

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9:41

Spiegami il teorema di Rolle

Orby

Se f è continua su [a, b], derivabile su ]a, b[ e f(a) = f(b), allora esiste un c in ]a, b[ tale che f′(c) = 0: lì la tangente è orizzontale.

Esempio: f(x) = x² − 4x soddisfa f(1) = f(3) = −3, e f′(x) = 2x − 4 si annulla proprio in c = 2.

QuizSalva

Che cosa garantisce il teorema di Rolle?

✓Un punto in cui la derivata si annulla

✕Che f è costante su [a, b]

Esatto: Rolle ti dà l’esistenza di c, non il suo valore.

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