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Import intelligent

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Dérivation

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Dérivabilité en un point

Ce que veut dire « avoir une tangente »

Une fonction peut être continue sans être dérivable : la continuité interdit les sauts, la dérivabilité interdit les angles. C’est la différence entre tracer sans lever le crayon et tracer sans à-coup.

Le taux d’accroissement

📖 Définition

f est dérivable en a si le taux d’accroissement entre a et a + h admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé f′(a).

f′(a) = lim_h→0 f(a + h) − f(a)h

La pente de la sécante tend vers celle de la tangente.

✏️ Exemple

x ↦ |x| n’est pas dérivable en 0 : le taux vaut −1 à gauche et +1 à droite. Les deux limites diffèrent, il n’y a donc pas de tangente.

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Chapitre

Ce que ton import devient, cours compris

Cours

Des cours complets multi-leçons depuis ta matière

Chat Orby

Un tuteur qui montre, pas seulement qui explique

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Explique-moi le théorème de Rolle

Orby

Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et que f(a) = f(b), alors il existe c dans ]a, b[ tel que f′(c) = 0 : la tangente y est horizontale.

Exemple : f(x) = x² − 4x vérifie f(1) = f(3) = −3, et f′(x) = 2x − 4 s’annule bien en c = 2.

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Que garantit le théorème de Rolle ?

✓Un point où la dérivée s’annule

✕Que f est constante sur [a, b]

Exact : Rolle donne l’existence de c, pas sa valeur.